12.2.3 多项式与多项式相乘 同步练习 2021—2022学年华东师大版八年级数学上册 zhao 初中 2024-04-26 77 1 12.2.3 多项式与多项式相乘 同步练习 2021—2022学年华东师大版八年级数学上册
一、选择题(共5小题)
二、填空题(共5小题)
三、解答题(共4小题)
参考答案及解析
解释:假设两个二次三项式分别为A=ax^2 + bx + c和B=dx^2 + ex + f,它们的积AB=(ad)x^4 + (ae + be + cd)x^3 + (bf + ce)x^2 + (cf)x + (ce). 由于AB是一个四次六项式,所以d必须等于a且f必须等于c,这样才能保证x^4的系数为0。因此,只需要考虑B的形式,它可以是B=ax^2 + bx + c或B=ax^2 + bx - c。因为B是一个二次三项式,它不可能包含x^3的项,所以它的x的一次项必须是0,即b=0。这意味着B只能取B=ax^2的形式。因此,只需要将A也化为x^2的形式,就可以满足条件了。这就是说,两个二次三项式至少有一个可以为x^2的形式,而这样的二次三项式至多只有一个可能不含因式(x+y)。
D
解释:根据分配律,对于任意实数a, b, c,我们有a(bc)=(ab)c。这个恒等式两边交换a和b的位置后仍然成立,即有(bc)a=b(ca)。但是选项D中的(b-c)不是交换a和b后的结果,因此它是错误的。正确的应该是a(b-c)=ab-ac。
D
解释:在多项式4xy^2 - xyz + yz^2 + z^3中,最高次项是z^3,因为它包含了最高幂次的字母z。其他所有项的次数都小于z^3的次数。
A
解释:如果多项式P=ax^2 + bx + c能够被x + 2整除,那么我们可以用长除法或者因式分解的方法来找到商和余数。我们知道,(x + 2)可以分解成(x + 2)(1),所以我们可以先尝试用(x + 2)去除以P,然后看得到的余数是多少。如果我们发现余数为0,那么商的最高次数就是P的最高次数减去(x + 2)的次数,也就是3次。让我们来看看这个过程:
P = ax^2 + bx + c ----- ---------------------------- (x + 2) | P bx + (2a + b)x + (2c + ac) --------- ----------- bx (2a + b)x + (2c + ac) (2a + b)x (2c + ac) 2(2c + ac) (2c + ac) (4c + 2ac) (4c + 2ac) 4c + 2ac 4c + 2ac 4c 2ac 4ac 2ac 4ac 2ac 4ac 2ac
我们看到,余数确实是0,所以商的最高次数是3次。现在我们来找出商的具体形式。从上面的竖式中可以看出,商的第一项是-8a,第二项是16b,第三项是-4ac,第四项是-8a,第五项是4b,第六项是-4c,第七项是2ac。把这些项加起来,我们得到了商的形式:-8a + 16b - 4ac - 8a + 4b - 4c + 2ac
合并同类项,我们得到:(-8a + 4a) + (16b + 4b) + (-4ac + 2ac) + (-8a - 4c)
进一步合并同类项,我们得到:(-4a + 20b - 2ac - 12a)
简化这个表达式,我们得到最终的商的形式:(-8b + 16a - 4ac + 12a)
将商乘以(x + 2),我们得到了P:(-8b + 16a - 4ac + 12a) * (x + 2) + 4ac
展开这个表达式,我们得到:(-8bx + 16ax + (-8b + 16a))x + (16b - 32a + 4ac + 12ax) + 4ac
再次合并同类项,我们得到:(-8bx + 16ax + (-8b + 16a)x) + (16b - 32a + 4ac + 12ax + 4ac)
合并同类项,我们得到:(-8bx + 16ax + (-8b + 16a + 12a)x + (16b - 32a + 4ac + 4ac))
进一步合并同类项,我们得到:(-8bx + 16ax + (-8b + 28a)x + (16b - 28a + 4ac + 4ac))
简化这个表达式,我们得到最终的结果:(-8bx + 16ax + (-8b + 28a)x + (16b - 28a + 4ac + 4ac))
将x的系数移动到一边,常数的系数移动到另一边,我们得到:(-8b + 28a - 16a)x + (16b - 28a + 4ac + 4ac)
合并同类项,我们得到:(-8b + 16a - 4a)x + (16b - 28a + 4ac + 4ac)
简化这个表达式,我们得到最终的结果:(-8b + 16a - 4a)x + (16b - 28a + 8ac)
将这个结果写成P的形式,我们得到:P = (-8b + 16a - 4a)x + (16b - 28a + 8ac)
这正是选项A所给出的答案。D