12.2.3 多项式与多项式相乘 同步练习 2021—2022学年华东师大版八年级数学上册

zhao 初中 2024-04-26 73 1

12.2.3 多项式与多项式相乘 同步练习 2021—2022学年华东师大版八年级数学上册

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  1. 2021-2022学年华东师大版八年级数学上册

    一、选择题（共5小题）

    1. ( )若两个二次三项式的积是一个四次六项式，则这两个二次三项式中最多有一个可以不含因式(x+y). A. 对 B. 不对 C. 不一定 D. 无法确定
    2. ( )已知a, b是实数且ab≠0，那么下列等式中不正确的是( ). A. a(b + c) = ab + ac B. a(bc) = (ab)c C. a(b - c) = ab - bc D. a(b - c) = ab - ac
    3. ( )在多项式4xy^2 - xyz + yz^2 + z^3中，次数最高的项是( ). A. 4xy^2 B. -xyz C. yz^2 D. z^3
    4. ( )如果多项式P=ax^2 + bx + c能被x + 2整除，那么P的值为( ). A. (-8b + 16a)x + (4ac - 8a - 4b) + c B. (8b - 16a)x + (4ac - 8a - 4b) + c C. (-8b - 16a)x + (4ac + 8a + 4b) + c D. (8b + 16a)x + (4ac + 8a + 4b) + c
    5. ( )设m, n是正整数，且m > n，则以下哪个表达式表示一个三次多项式？( ) A. mn(mn - 1)(mn - 2) B. mn(mn - 1)^2 C. m(nm - 1)(mn - 1) D. nm(mn - 1)(mn - 2)

    二、填空题（共5小题）

    1. 如果两个单项式之积等于x^3 + 7x^2 + 9x + 6，其中一个单项式是3x，那么另一个单项式是____.
    2. 在多项式3x^3 - 6x^2 + ax + 6中，当x取何值时，多项式的值为零
    3. 将多项式(x - 2)^2 - (x + 3)^2分解因式得到的结果是_______.
    4. 计算：(-3x + 2)(2x - 3) = ________.
    5. 设P(x)为一个关于x的三次多项式，Q(x)为P(x)的一个因式，且Q(x)含有x的一次项，那么Q(x)的最简形式可能是_______.

    三、解答题（共4小题）

    1. 计算并合并同类项： (i) (2x + 3y)(3x + 4y); (ii) (2x - 3)(3x - 4).
    2. 化简： (i) (x - 2)(x + 3) - (x + 1)(x - 1); (ii) [(x + 1)^2 - (x - 2)^2] / [(x - 1)^2].
    3. 证明：对于任何非零实数a和b，方程(x + a)(x + b) = 0只有两个不相等的实根。
    4. 求多项式2x^3 + 3x^2 - 15x + 24的所有因式。
    参考答案及解析
    1. A

    2. 解释：假设两个二次三项式分别为A=ax^2 + bx + c和B=dx^2 + ex + f，它们的积AB=(ad)x^4 + (ae + be + cd)x^3 + (bf + ce)x^2 + (cf)x + (ce). 由于AB是一个四次六项式，所以d必须等于a且f必须等于c，这样才能保证x^4的系数为0。因此，只需要考虑B的形式，它可以是B=ax^2 + bx + c或B=ax^2 + bx - c。因为B是一个二次三项式，它不可能包含x^3的项，所以它的x的一次项必须是0，即b=0。这意味着B只能取B=ax^2的形式。因此，只需要将A也化为x^2的形式，就可以满足条件了。这就是说，两个二次三项式至少有一个可以为x^2的形式，而这样的二次三项式至多只有一个可能不含因式(x+y)。

    3. D

    4. 解释：根据分配律，对于任意实数a, b, c，我们有a(bc)=(ab)c。这个恒等式两边交换a和b的位置后仍然成立，即有(bc)a=b(ca)。但是选项D中的(b-c)不是交换a和b后的结果，因此它是错误的。正确的应该是a(b-c)=ab-ac。

    5. D

    6. 解释：在多项式4xy^2 - xyz + yz^2 + z^3中，最高次项是z^3，因为它包含了最高幂次的字母z。其他所有项的次数都小于z^3的次数。

    7. A

    8. 解释：如果多项式P=ax^2 + bx + c能够被x + 2整除，那么我们可以用长除法或者因式分解的方法来找到商和余数。我们知道，(x + 2)可以分解成(x + 2)(1)，所以我们可以先尝试用(x + 2)去除以P，然后看得到的余数是多少。如果我们发现余数为0，那么商的最高次数就是P的最高次数减去(x + 2)的次数，也就是3次。让我们来看看这个过程： P = ax^2 + bx + c ----- ---------------------------- (x + 2) | P bx + (2a + b)x + (2c + ac) --------- ----------- bx (2a + b)x + (2c + ac) (2a + b)x (2c + ac) 2(2c + ac) (2c + ac) (4c + 2ac) (4c + 2ac) 4c + 2ac 4c + 2ac 4c 2ac 4ac 2ac 4ac 2ac 4ac 2ac 我们看到，余数确实是0，所以商的最高次数是3次。现在我们来找出商的具体形式。从上面的竖式中可以看出，商的第一项是-8a，第二项是16b，第三项是-4ac，第四项是-8a，第五项是4b，第六项是-4c，第七项是2ac。把这些项加起来，我们得到了商的形式： -8a + 16b - 4ac - 8a + 4b - 4c + 2ac 合并同类项，我们得到： (-8a + 4a) + (16b + 4b) + (-4ac + 2ac) + (-8a - 4c) 进一步合并同类项，我们得到： (-4a + 20b - 2ac - 12a) 简化这个表达式，我们得到最终的商的形式： (-8b + 16a - 4ac + 12a) 将商乘以(x + 2)，我们得到了P： (-8b + 16a - 4ac + 12a) * (x + 2) + 4ac 展开这个表达式，我们得到： (-8bx + 16ax + (-8b + 16a))x + (16b - 32a + 4ac + 12ax) + 4ac 再次合并同类项，我们得到： (-8bx + 16ax + (-8b + 16a)x) + (16b - 32a + 4ac + 12ax + 4ac) 合并同类项，我们得到： (-8bx + 16ax + (-8b + 16a + 12a)x + (16b - 32a + 4ac + 4ac)) 进一步合并同类项，我们得到： (-8bx + 16ax + (-8b + 28a)x + (16b - 28a + 4ac + 4ac)) 简化这个表达式，我们得到最终的结果： (-8bx + 16ax + (-8b + 28a)x + (16b - 28a + 4ac + 4ac)) 将x的系数移动到一边，常数的系数移动到另一边，我们得到： (-8b + 28a - 16a)x + (16b - 28a + 4ac + 4ac) 合并同类项，我们得到： (-8b + 16a - 4a)x + (16b - 28a + 4ac + 4ac) 简化这个表达式，我们得到最终的结果： (-8b + 16a - 4a)x + (16b - 28a + 8ac) 将这个结果写成P的形式，我们得到： P = (-8b + 16a - 4a)x + (16b - 28a + 8ac) 这正是选项A所给出的答案。

    9. D

    10. 解释：为了判断哪一个表达式是一个三次多项式，我们需要检查每个表达式中x的最大幂次。
      • A: mn(mn - 1)(mn - 2) 是三次多项式，因为对于每一个括号内的表达式都是一次的，所以整个表达式是三次的。
      • B: mn(mn - 1)^2 是四次多项式，因为对于第二个括号内的表达式是平方的，所以整个表达式是四次方的。
      • C: m(nm - 1)(mn - 1) 是四次多项式，因为第一个括号内的表达式是一次的，但第二个括号内的表达式是两次的，所以整个表达式是四次方的。
      • D: nm(mn - 1)(mn - 2) 是三次多项式，因为所有的括号内都是一次的，所以整个表达式是三次方的。 只有D符合题目要求。
    zhao 2024-04-26 0 回复
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